и силы сопротивления в подиипниках не учитывать. Колеса, для которых в таблице радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородны.ми дисками. Водила (кривошипы) рассматривать как топкие однородные стержни. Принять, что в вариантах 6, 9, И, 20, 22 и 30 механизм расположен в горизонтальной плоскости.

Пример выполнения задания. Дано: массы тел / и 2 механической системь! (рис. 216): ту = т, = 5т (тело / считать материальной точкой); Р~ постоянная сила, приложенная к телу 2 (тело 2 может двигаться только поступательно вдоль линии действия силы Р); Ь - коэффициент пропорциональности в выражении силы сопротивления относительному движению тел / и 2; = - bv, где и -относительная скорость тел. Коэффициент трения скольжения (тела 2) / = 0.

mii,!:ii;i:,:;i,i;i::ii:,i,i!ii!iiiiii:iCTi

Рис 216

Рис. 217

Найти уравнения движения системы в обобще1Ц1Ых координатах qi = x, .2 = ё (рис. 216) при начальных условиях:

Решение. Воспользуе,мся общим уравнением динамики. Покажем задаваемые (активные) силы: силы тяжести тел / (шарика) и 2 - Gy и Gg, силу Р, а также силу U сопротивления движению шарика по желобу (рис.-*217). Со стороны шарика на тело 2 действует сила R= - R, которая на рисунке не показана.

Приложим силы инерции. Сила инерции тела 2, движущегося поступателыга с ускорением Ша, выражается вектором

Фа = - mw,.

Ускорение шарика / складывается из относительного Wr и пере-

ilOCHOrO Wf = w2-

Соответственно покажем две составляющие силы инерции шарика

Фг = - mWr W Фе=-ТПуХШ,.

Для того чтобы получить уравнение движения системы, применим принцигцналоженн*~дополнительных связей (принцип затвердения).

Мысленно закрепив тело 2, сообн-чм шарику / возможное перемещение 6 и составим общее уравнение динамики:

GM cos (Gi, т -(R + Фг) Ь1 + ФМ cos (Ф„ Ь1) = 0. Имея в виду, что

cos(Gi, 6£) = sin30°sin45°; cos (Ф„ б) = cos 30° sin 45% получим

mg sin 30° sin 45° - b - flzj-f rnx cos 30° sin 45° = 0

l-\-{blm)-l-{YlA)-x = gY2lA. (1)

Теперь мысленно закрепив шарик / в желобе, сообщим телу 2 возможное перемещение hx.

Общее уравнение динамики в этом случае имеет вид:

(Р-Ф- Фе) Ьх + cos (Фг, 6х) = 0. Учитывая, что

cos (Фг, 6x) = cos30°sin45°,

находим

Р = пцх - тх 4- cos 30° sin 45° = О

6mJe-m(/6/4)- = P. (2)

Для решения системы дифференциальных уравнений (1) и (2) из (1) определяем

X = (4/Кб). I -f (4Ь/]/б т) • 1 - g 3. Подставляя это значение Jc в (2), получаем

3,75/6m-f4K6 Ь = Я--2/иКЗ. (3)

Введем обозначения:

3,75/бт = й; AVb=\i; P2mY3g = h. Тогда уравнение (3) примет вид:

а -f р = ft или I + (р/а) I = Л/а. (4)

Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

= Q+C,r"4(ftM) (5)

Постоянные и определяем из начальных условий. При = 0

ё = Ео, 1о = 0.

Следовательно, согласно (5)

1о = СЛ-Сг\ 0 = -(fx/«).C2-fft/fx,

откуда

Окончательно

I = „ - (ah/ii) (1 - е-с/")) + (h/ii) L (6)

Для того чтобы получить второе уравнение движения х = х{1), найдем из (2)

. = (1/4Кб)-+Я/6т. Дважды дифференцируя (6), определяем, что

= (/i/a) •е-/")-.

Тогда

X = (/1/а4 /6) • е- {i")- + P/6m или, учитывая, что « = 3,751/6 ш,

J?= (/i/90m) • e-(t*/«)-< + P/6m, (7)

Интегрируя (7), находим:

i = (fta/90mp,) • e-d/)- + (P/6ffz) • + Q,; a: = {hamm\ji) e~ + (P/12m) • P + Ct + C4. (8)

Согласно условию задачи при t = 0

хО, х = 0.

Следовательно,

0 = -/1а/90тц + Сз; О =/ю/ЭОтр + С4.

Отсюда

Сз = /га/90тр; С4 = -/гаЭОтр, Подставляя эти значения постоянных в (8), получаем:

Уравнения (6) и (9) являются решением задачи,

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

Задание Д-19. Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

К ведущему валу / механизма приложена пара сил, момент которой (вращающий момент) постоянен и равен Mi. К ведомому валу приложены силы сопротивления, создающие относительно оси постоянный момент Мц (момент сопротивления).

Определить угловые ускорения ведущего и ведомого валов.

В задании приняты следующие обозначения: Ша-з -масса каждого сателлита 2-3, состоящего из колес 2 и <3; У2-3 -оент инерции сателлита 2-3 относительно собственной оси; Jj -момент инерции