определяются корнями \равненпя:

аЯМрО, (I)

где Я-потенциальная энергия системы.

Потенцналыгая энергия системы складывается из потенсшальной энергии элементов системы в поле сил тяжести и потенциальной энергии деформированных пружин.

В качестве нулевого уровня потенциальной энергии элементов в поле сил тяжести выберем ось Ох. Тогда для каждого t-ro элемента при выбранном направлении оси у получим:

Па1 = С,у,, (2)

где «/( - вертикальная координата центра тяжести г-го элемента.

Так как при ф = 0 угол между стержнем 2 и осью Оу равен нулю, а качение подвижного колеса по неподвижному происходит без проскальзывания, то

Z. DC,,4 = ф . OC/QP = 2/ф = 2ф,

поэтому ВС3А =ф.

Из равенств 4 = /4 и hCE следует, что:

Z СВА = ф и Z СЕА = Z СзЛ£ = ф.

Полученные соотношения между углами позволяют для каждого t-ro элемента представить соотношение (2) в виде:

Яо1 = Gil/i = Gi • OCi cos ф = Gi • (/i/2) • cos ф; По1 = ОгУг = G2 (OCg cos Ф + C3C2 cos 2ф) =

= G2 {2R cos Ф -f (/2/2) • cos 2ф); Паг = СзУз = OC3 cos ф = Сз2/? cos ф;

Яо4 = G,yi = G4 (ОС3 cos ф + СзЛ cos 2ф + ЛС4) = (3)

= G4 (2R cos ф + 4 cos 2ф + /4/2); Паь = G-jj-„ = G5 (ОС3 cos ф + С3Л cos 2ф - Л С5 cos ф) =

= Gs [(2/? - IJ2) cos ф -h /2 cos 2ф)]; Л a, = СсУв = Ge (OC3 cos ф - СзСв) = G, {2R cos ф - 2).

Потенциальная энергия /-й деформированной пружины определяется равенством

n,j=(l/2)c,X% (4)

где X- деформация /-й пружины.

Для пружин с коэффициентами жесткости Ci и с. равенство (4) примет вид:

Л„ = (1/2) qX; = (l/2)-Ci(L/(-ai) = = (1 /2) • [/„ - {2R 4- /. + ОС3 cos ф) - = = (1 /2) [(/б - 2/? - /2 - flj) - 2« cos ф]2 = = (1 /2) q [(/в -2R-k- + 4/? cos ф -

-4/?(/в-;?-4-А1)С05ф]; (5)

Пс, = (1/2) • с,Ц = (112) С2 (BF - а) = (1 /2) • С2 (/j - ОВ - а.) = = (1 /2) • сг (/i - 2/? - 2/3 cos ф - af = = (1 /2) с, [{I, -2R- а) - 21, cos ф = = (1 /2) • С2 [(/, -2R- аг) + 4/ cos ф - (/, -2R- а) cos гр].

Суммируем соотношения (3) и (5) и приводим подобные Ч1ены при cos ф, со5ф и со5 2ф:

Я = Л cosЧ-ficosф + Ccos2ф + D, (6а)

А = 2;?Ci + 2/.С2 = 2 (cR + е = [Gi/,/2 + G22R + G.,2R + Gs (2R -1,12) + + G,2R -f Ge2« - 2Rci (/«- 2R - /2 - fli) - 2/2C2 (/1 - 2/? - fl)! = = G5• lbl2 + 2[Rci (/e-2R-k-aj -f /2С2 (/1 - 2/? -02)]-- Gi • /1/2 - 2/? (G2 + G3 + G, + Gj + Ge); С = G2 • /2/2 + G4/2 + G5/2 = k (G.J2 + G, + G,), (66)

С08Ф=Т7ХХ9П- при

1. (10)

D -свободный член, значение которого ввиду последующей операции дифференцирования можно не вычислять.

Производную от потенциальной энергии (6а) по обобщенной координате ф представ1!м в виде:

- = - 2/4 С08ф51пф+В5[Пф -2С51п2ф =

= - S 1Пф (2Л cos ф - В + 4С cos ф) -= - sin ф[2(Л + 2С)cos ф - В]. (7)

На основании равенства (1) получаем, что в состоянии покоя

51пф[2(Л-[-2С)со5ф-Б] = 0, (8)

откуда следует, что значения угла ф, соответствующие состояниям покоя, определяются двумя уравнениями:

Sin ф = 0; (9)

1{А+2С) "Ь" 2(Л + 2С)

Для исследуемой системы значения коэффициентов А, В н С, вычисленные по фор.мулам (66), равны:

Л = 2 (CyR +c.Jl) = 2 (4000 • 0,1 -f 5000 • 0,2) = 480 Нм; В = Gs• 4/2 + 2[Rc, {I,-2R-k-a) + lc, -2R-a,)]-

- Gi • IJ2 - 2R (G., + G + G -f Gs + G„) = 10 • 0,5/2 +

-f 2 [0,1 - 4000 (0,7 - 2 0,1 - 0,2 - 0,1) +0,2 • 5000 (0,8 - 2 • 0,1 - 0,3) -

- 10-0,8/2-2 0.1 (5 + 20 + 5+10+15) = 747,5 Нм; С = /2 (C2/2 + G4 + Gs) = 0,2 (5/2 + 5 + 10) = 3,5 Нм,

откуда

2 (Л + 2C) = 2 (480 + 7) = 974 Нм.

Проведенные вычисления показывают, что S < 2 (Л + 2С). Следовательно, система имеет четыре состояния покоя, соответствующие корням уравнений (9) и (10):

из (9)

Ф1 = 0 и ф2 = я;

из (10)

Ф.,,4 = arccos [В 12 (Л + 2С)] = arccos (747,5/974) = arccos 0,767, что соответствует углам фз = 3954 и ф, = - 39°54.

R o6meNf случае из соотпошсния (9) следует, чго пне зависимости от пара-мстрои системы с\1г;естиуют ио крайней море два значеиия обобщеииой координаты ф, при которых система находится в состоянии покоя,

Ф1 = 0 и ф = я. (И)

Так как при любых исходных данных Л > О и С > О, то уравнение (10) имеет решение лишь при \В\<2 (А-\-2С).

В зависимости от числовых значений коэффициентов Л, В м С при решении задачи возможны три следуюш,их случая.

Первый случай:

\В\>2(А-[-2С). (12)