в этом случае положения покоя, определяемые углами (pi ц ф2, единственные. Втором случай:

В = 2(Л + 2С), т.е. В = 2(Л-Ь2С) (13а)

В = -2(А + 2С). (136)

В этом случае выражение (10) примет вид

cos ф = t 1.

Корни этого уравнения совпадают со значениями cpi и (f, из формулы (11). Следовательно, и в этом случае система имеет только два положения покоя, определяемые углами ф, и ф.

Третий случай:

\В\<2{А-2С). (и)

В этом случае, помимо фх и ф2, появляются еще два угла фз н ф4, соответ-ствуюи;ие положениям покоя.

cpx.= arccos. (15)

При В>0

0<фз<п:/2 и -п:/2<ф4<0.

При S<0

я/2 < фз < л и я < ф4 < - л/2.

Случай В = 0 не рассматриваем, так как ввиду равенства /2 = 63 положение системы при ф=;г- я/2 определяется неодно.чначно.

2. Исследование устойчивости положений покоя рассматриваемой системы. Если в положении покоя (ф = фк) потенциальная энергия игслед\емой системы имеет минимум, то по теореме Лагра1гжа-Дирихле это положение покоя устойчиво *.

Мзвестио, что условие минимума функции П можно представить в виде:

(5,%\ = Ф>0. (16)

где фк -значение обобщенной координаты, соответствующее положению покоя. Если представить равенство (7) в виде

дПд = В sin ф - (Л + 2С) sin 2ф,

дП,Щ- В cos ф - 2 (Л 2С) cos 2ф. [17)

При ф = ф=0 из (17) следует:

(/7/<9ф-), ,р о = В-2 (Л-(-2С) = 747,5-974 = - 226,5 Нм < О,

т. е. условие устойчивости (16) при ф = фг не выполняется. При ф = ф2 = л выражение (17) примет вид:

{дП/(5ф2) ,р, = - В - 2 (Л Н- 2С) = - 747,5 - 974 = - i721,5 Нм < 0.

Следовательно, при ф = ф2 условие устойчивости (16) также не выполняется. Таким образом, теорема Лагранжа -Дирпхле не позволяет судить о характере состояний покоя при ф,==0 и ф2 = Я.

Прп ф = ф = arccos 0,767

cos ф.4 = 0,767, cos 2фз . = 2 cos2 фд j- 1=2 - 0,767- - 1 = 0,176.

* Если потенциальная энергия системы при ф =фк не имеет миниму.ма, то для Исследования характера устойчивости состояния покоя необходимо использовать теоремы Ляпунова.

Тогда вторая производная от потенциальной энергии по обобщенной координате

(dnidcfX, = В cos ф,,,- 2 (Л + 2С) cos 2фз = 747,5 - 0,767 - 974 - 0,170 = 403 Нм> 0. Таким обратом, условие (16) оказывается при ф = ф, выполненным, откуда следует, что иоложения покоя, соответствующие обоим углам, устойчивы.

Ниже приведено исследование устойчивости положений покоя в общем виде для каждого из трех перечисленных случаен, определяемых формулами (12) -(14).

Первый случаи. Исследованию подлежат значеиия ф, определяемые формулами (11).

При ф = ф1 = 0 нз (17) следует:

(d-n/d,f% о = В-2(А+ 2С). Отсюда условие устойчивости (16) примет вид

В>2(Л + 2С). (18)

При ф = ф,--=л

{д-П,Щ\ = В 2 (Л + 20

и услов[1С устойчивости этого положения покоя определится неравенством:

В<-2(Л + 2С). (19)

Неравенства (18) и (19) совместны с неравенством (12). Следовательно, в первом случае устойчивым может оказаться как первое (ф = 0), так и второе (ф2 = л) положения покоя.

Второй случай. Исследованию по-прежнему подлежат значения ф, задаваемые формулами (И); при этом величина В определяется по одному из равенств (13).

При ф = ф1 = 0 и В=2(Л4-2С)

{дЧ1,Щ\ 0 = В - 2 (Л -Ь 2С) = 0.

Д = 2 (Л + 2С)

Следовательно, значение второй производной не может служить критерием минимума потенциалыгой энергии. В этом случае необходимо вычислить старшие (п>2) производные (с)Я/(5ф")фФ . Если первая не равная нулю производмая

имеет четный порядок и при этом положительна, то при ф = фк имеется минимум.

Если первая не равная нулю производная имеет нечетный порядок, то теорема Лагранжа -Дирихле не позволяет судить о характере состояния покоя

аЛ/Эф = - S sin ф + 4 (Л + 2С) sin 2ф; (20)

й*Я/аф = - S cos ф -f- 8 (Л + 2С) cos 2ф; (21)

(<9/7/аф5)0 =0;

В 2 (А -h 2с)

{д*П!д((\ О =-В + 8(Л+2С)=6(Л + 2С).

в -= 2 (.4 + 2С)

Так как л > о и о о, то

(5Л/5ф%Ф о >0.

В = 2{Л + 1С)

Следовательно, при Ф1 = 0 к В = 2(Л + 2С) состояние покоя рассматриваемой системы устойчиво.

При ф = ф=.1 н В = 2(Л + 2С)

(сГ-П/дц>% = - В -2 (Л Ч-2С) = - 4 (Л J-2С) < 0.

В---2(Л + -2С)

Т. е. оказывается невыполненным условие устойчивости (16).

При ф=ф,() и В-2{Л-\-2С)

(6Щ= - В - 2 (Л + 2С) - О

й - -.(Л ;- -С)

Иа (20) и (21) с;сд\ет.

(оЗ ,Уф\.,. =0,

и - J (Л ; геГ)

( /йф. =Д ;-8(Л f 2С)()(Л-1-2О>0.

Ряпопство п\лю третье I npou.-iiioj/io i or Г[с)ге[1ци<:л>н01 эиергш и готожи-•елы10 1ь чеперто! ппзноляют я.жчочшъ, что ирн ф (.-л и -2(Л--2С) (otTOSiiiio покоя сн<1е\ы ;)ii()iMni!o

Пропсдсипос ии 1едо1!Г11!ие [Юпочяет ебъстнпит!) условия хстопчинони для первосо и вюрого (лушси. Г\. и В 2 (А > 2С), то при г---((,-О ео "-ояиис Покоя устоичиио, когдм В ..2(Л--2С), а при q-фу- т коД В - 2(Л--2С).

Т р с т и и случаи 11сс-!сдопл11;,!0 Пдлсsir чсгмрс iiiiiciiiiM ф, onpc,i,o.;c-М1,е формул.ми (11) и (!,).

При ф--ф- О \с-К1ы,е \стопчивости соипад ici с псряиспстБом а при ф=ф., - л с liepabcit iDOM (19)

Нсравс1к-тиа (18) и (19) Iji овм(\ тпы г \-(. лопнем (1*г Следон, c.;i но, при ] В 1 < 2 (Л-1-26) иото/кспия покоя, соогпоге roj ющие j гла>1 ф] и ф2, не u-i;t4aior условию vcroii4imoLTH.

При Ф = <Г,,,,

"f.-iAlllLy cos 2ф, = 2 сой Ф, , - Т(Л T"-Q

\ оц/ 2(Л-h2C) . >

2(Л- 2С)-

= 2(Л-1-2С)-

2(Л-h2C) • Условие устойчивости (16) вырпзится н виде

2 (Л -I 2С) > YlTpIcT < 4 + 2С) (22)

liepaiieMtTiio (22) равно нтьпо условию (14), откуда следует, что углы ф.., и ф4 еоотсс1ст1!уют положению устойчивою состояния покоя рассмат])иваемой сиегсчы.

Задание Д-22. Определение услови11 устойчивости заданного состояния покоя (равновесия) консервативной механической системы с одной и двумя степенями свободы (по теореме Лагранжа -Дирихле)

А. OnpcdcieHite щлоаия устопчивоыпи шданного состояния покоя (равновесия) механической системы с одной степеныо свободы. Оире-дстить условие устойчивости заачиого состояния покоя мсхаиичс-ской спсгомы с одной степенью свободы, прогсбрегая массами упругих элементов

Схемы механических систем тел 1 - 4 в состоянии покоя показаны на рис 230 - 232. Кажтая мечаиическая система состоит из нескольких однородны ч тел весами G,, где i - номер соответствующего тела иа схеме. Во всех вариачтгх пружины, коэф(})Нцпеиты жесткости KOTopiiix q и с., в положении покоя не деформированы,