Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [ 111 ] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129

Трение в шарнирах отсутствует и качение колес происходит без скольжения. При реи1епии задачи считать все стержни тонкими

однородными и диски ОДНОрОД1Изми cплoшиыпi.

Пример решения задания. Определить условие устойчивости состояния покоя для механической системы тел 1 - 3 с одной степенью свободы, нзобргжеииой в гюложснии покоя на рис. 2ЛЗ. Цаио: веса элементов С,, С,, G,; коэфсЬициеиты жесткости пружин 6-j, с, и е.; длина стержня ОЛ - I и радиус диска R--Q,3t. Известно, что пружины, коэффициенты жесткости которых q и с., в псложе-нии покоя ие дсформировлны.


Реи1ение. Выберем в качестве обобш,енной координаты угол ф,, па который отклоняется стержень / от положения гюкоя (рис. 234).

Исследуемая система является консервативной, следовательно, при 9, = 0 должно выполняться равенство:

(с)Я/аф1)ф, 0-0. (1)

По теореме Лагранжа - Дирихле состояние покоя рассматриваемой системы являются устойчивым, если наряду с равеиство.м (1) выполняется условие:

(а-Л,%;),р,. „>0. (2)

При этом обобщеипая координата считается малой, поскольку проводится исследование устойчивости около гюложеиия Ф1--0.

Иотипшальпую энергию системы определим как сумму работ сил тяжести и сил упругости ири перемещении системы от откло-нешгого положения в нулевое, каковым считаем гюложение покоя системы.

Неравенство (2) позволяет при вычислении потенциальной энергии ограничиться слагаемыми второго порядка малости относителыю обоб;г;ен1Юй координаты (f. Для этого дефор.мации пружин, не нагруженных в положении покоя, достаточно вычислить с точностью до величии первого порядка малости, а вертикальные смещения центров тяжести и деформации пружин, загруженных в положении покоя, -с точностью до величин второго гюрядка малости включительно,



в рассл[атриваемон задаче такая точность будет достишуга, если нрн онрсделсини углов поворота элеменгов системы ограничиться величинами первого порядка малости относительно ср,.

При повороте стержня / (ОЛ) на угол (р, все точки системы зашмают новое положение. На рнс. 234 точки, обозначенные буквами с верхним индексом в виде одного штриха, соответствуют положениям, показанным с точностью до величин первого порядка малости отностсльио ср,, а точки, обозначе[шь[е бук-валн[ с верхним [шдексом в виде двух гнтрихов,соответствуют 110ложси!;ям, в которых учтены персмсш,е-ния второго порядка .малости.

Ошиисм персмсн1с-ния элементов системы, ограничиваясь велнчннали! первого порядка .малости. Точка А перемещается

перпсндикуля

мю к отрезку


ОЛ в точку А, при этом: А А ОА -tpi ---=l(fy.

Перемещеьие стержня 2 (отрезка А В) можно представить как поворот на [ге-которьи! угол ф, вокруг точки Р,, являющейся мгновенным центром вращения звена ЛВ, при этом точка В переместится по горизонтали в точку В.

ВВ =-- АЛ РВ/Р.А; ф2 -~= АА/Р.,А,

Рис 234

откуда

РА = РоО ~ОА2-ОВ~ОА40А~ОА= 31; Рф = Р.О cos 30"= - М V3 /2 = 21 \ 3,

ВВ ---/ф, (2/1/3/3/)= 1,1./ф,; Ф, =/ф/З/.- 0,33ф1.

Перемен1С!П1е стержня 3 (DF), жестко скрепленного с диском, можно представить как гюворот на угол q,,, вокруг точки Р, являющейся .\n-noBCHHbiN[ центром вращения диска, при этом перемещение точки Е в точку Е будет перпендикулярным к отрезку PiE.

2 {3/ф, 2ГЗ/ф-,

3 • 0,3/

--- 3,85ф,

ЕЕ = фз Рз£ - Фз« V 2 2 1/2/3 /ф1 = 1 ,бЗ/ф1.



Перемещение точки F перпендикулярно к PF и равно:

FF = Фз • FP., = Фз (/ cos 3Q° + R) 3,85ф1/ (0,866 + 0,3) = 4,5/fi.

Потенциальная энергия деформированной пружины, коэффициент жесткости которой Cj, определяется формулой

n,j = (1/2) • о (Xj It /„); - (1/2) ф, = (1/2) • CjV ± с,у,ф (3)

где - деформация /-й пружины, вызванная отклонением стержня / на угол от положения покоя; /„/ - деформация /-й пружины в положении покоя (статическая деформация).

Для пружины, коэффициент жесткости которой q, имеем:

где и w/f - проекции перемещений точек Л и f на ось первой пружины.

Зная перемещения АА и FF, можно получить:

\ = - ЛЛ cos 30° = 4,5/ф1 - 0,866/ф1 = 3,63%,

Для пружины, коэффицие[{т жесткости которой с, деформация "к равна проекции перемещения точки Е на ось пружины:

Яг = ££ cos 45° = 2 Ут • % 1/2/2 = (2 З) /ф = 1,15/ф1.

Следует иметь в виду также, что /„1 = 0 и /„2 = 0-Деформация пружины с коэффициентом жесткости с, нагруженной в положении покоя, должна вычисляться с точностью до величин второго порядка малости относительно ф). Так как ось этой пружины перпендикулярна к ОЛ, то легко показать, что в выражении для Яз слагаемые второго порядка малости отсутствуют:

Яз = /ф1 и /„30.

Подставляя найденные значения деформаций Я1, Я2 и Я3 в выражение (3), получаем значения потенциальной энергии для каждой деформированной пружины:

= (1 /2) • q (3,63) Рщ = (1 /2) • q • 13,18/2ф1; (4)

Я,2 = (112). с, (4/3) • 1\\ = (112) с, ,J ,32/Vi; (5)

Я,з = (1/2)-Сз/2ф? + с,/ф,и. (6)

Потенциальная энергия j-ro эле.мента системы в поле сил тяжести определяется формулой:

HaiGA, (7)

где Лг -вертикальное перемещение центров тяжести элементов системы, вычисленное с точностью до величин второго порядка малости относительно обобщенной координаты (р. Если при повороте звена О А на угол Ф1, центр тяжести j-ro тела поднимается, то /i,>0; в противном случае /гг<;0. В рассматриваемой задаче hi для всех элементов отрицательно.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 [ 111 ] 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129