Таблица 62

системы вертикальное отклонен соответствующего сгатической дс

с (/ груза / от положения покоя, :{)Ормации пружины, имеем:

d (дТ\ дТ dt дуj ду

где Т -кинетическая энергия системы; Я - потенциальная энергия системы.

Кинетическую энергию Т вычислим с точностью до величин второго порядка малости относительно обобщенной скорости у, а потенциальную энергию - с точ1гастыо до величин второго порядка малости относительно обобщенной координаты у.

Найдем кинетическую энергию системы, равную сумме кинетических энергий тел 1, 2, 6 w 4:

Т = Т, + Т, + Т,-\-Ти

выразив линейные и угловые скорости, которыми определяется кинетическая энергия тел этой системы, через обобщенную скорость у.

Кинетическая энергия груза /, движущегося поступательно со скоростью и = у:

Кинетическая энергия блока 2 (сплошного однородного диска), вращающегося вокруг неподвижной оси Ох:

Г2 = ЛлЮ/2. где ]гх=ЩГ212, u>2 = ij/r2,

т. е.

= (m,r]/2 2) • y/rl = m.f/A.

Кинетическая энергия тонкого однородного стержня 6, жестко связанного с блоком 2 и вращающегося вокруг неподвижной оси Ох-

Те = (6.-Мб)/2, где Jex = mei; Щ = Щ = У1Гг,

т. е.

так как /-2 = 4, то

Га = 8ffZeyV3.

Кинетическая энергия сплошного однородного диска 4, совершающего плоское движение,

Ti = miVll2-\-Jcx\l2, где ]сх-=тг112.

Скорость нентра тяжести диска н угловую скорость 0)4 можно определить следующим образом. Так как рассматриваются малые колебания, то

а ввиду того, что диск катится без скольжения

Vc = vnl2,

следовательно,

Vc = vaI2 = cufi 2 = ш., 2 = г /2г2 2(/, «4 = Vc/r = 2у1г.

Подставляем значения Jcxs vc и a)i в выражение для Т.

Ti = miiijV2 + тгЩ/Ац = nif.

Таким образом, кинетическая энергия рассматриваемой механической системы

Т = Ту+Т2 + Tfi + Г4 = m,f/2 + mJj/i + (8/3) m,f + Зту"- = = (1 /2) [mi + m2/2 + (16/3) m, + 6т\ tj".

Найдем потенциальную энергию системы, которая определится работой сил тяжести системы и силы упругости пружины на перемещении системы из отклоненного положении, когда груз имеет координату у, в нулевое положение, которым считаем положение покоя системы:

Я = Яг + Я„.

Потенциальная энергия, соответствующая силам тяжести при указанном перемещении

ni=-G,y-Geh,

где Л-вертикальное смеще[не центра тяжести стержня 6, которое вычисляем с точностью до величин второго порядка малости относительно обобщенной координаты у. По рис. 241

h = ll2- {112) cos ф = {112) (1 - cos ф).

"7 /

I I I

Рис. 240 Рис. 241

Ограничиваясь в фор.муле разложения

cosф=l-фV2! + фV4!-... двумя первыми членами и учитывая, что

Ф = « Г2 = 4« /,

имеем

Л=( 2)•фV2 = (/4)() = 4г/V

Таким образом.

n, = -Giy-G,-AyVl.

Рис. 242

Потенциальная энергия деформированной пружины при указанном перемещении системы равна:

Я„=с(/,, + Ял-)/2-с/а/2,

где/ст -статическая деформация пружины; Яд-- перемещение точки прикрепления пружины К, соответствующее координате у.