Промышленный лизинг Промышленный лизинг  Методички 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [ 124 ] 125 126 127 128 129

по закону:

М = Ма cos pt.

Дано: массы элементов системы = 0,5, = 3 кг, коэффицпенты жесткости пружин Ci = 60, С2 = 40, Сз = 40 Н/см; линейные размеры: /i = 20, /2 = 60. 4 = 30 см. Угол поворота стержня DE под действием пары сил с постоянным моментом М = Мо равен: фо = 0,01 рад.

Решение. За обобщенные координаты примем; г -вертикальное смен1ение груза от положения покоя и ф -угол поворота рычага DE от положения покоя.


Рис. 255

На рнс. 255 пунктиром показано положение системы при положительных обобнтенных координатах.

Уравнения Лагранжа для рассматриваемой системы имеют вид:

d 1дТ\ дТ дП . 1<Т\ дТ г п /п

dt \ di

где Qz и Q;p - обобщенные возмущающие силы.

Выражения для кинетической и потенциальной энергии получены в примере к заданию Д-25, где исследовались свободные колебания рассматриваемой системы.

Г = (1 /2) • a,,z + fli22cp + (1 /2). а22Ф; 1

П = (1/2) • с„г + с,2гф + (1/2) • С22Ф-,

где щ/ и с,/- коэффициенты инерции и жесткости системы, равные

aii = mi = 0,5 кг, ai2 = 0, 022 =/0 = 0-28 кгм;

Сц = Сз = 4000 Н/м. Ci2 = С21 = Сзз = 1200 Н;

C22 = Ci/ + C2/. + C3/i = 2040 Нм.

Частоты свободных колебаний и соответствующие коэффициенты распределения получены в примере к заданию Д-25

1 = 66,4 с 1; Pi = - 1,49 рад/м; 1 . /22=104 с-1; На =1,2 рад/м. j



Определим обобщенные силы и Q, связанные с действием возмущающего момента:

Q,=6AmJ62; Q = &A„/6(f, (4)

где бЛд, - элементарная {забота возмущающего момента на перемещении системы, вызванном элементарным приращением обобщенной координаты 2 при ф = const; бЛд,- элементарная работа возмуи1аю-щего момента на перемещении системы, вызванном элементарным приращением обобщенной координаты ф при z = const; 62, бф-элементарные приращения обобщенных координат.

Если принять направление возмущающего момента при / = 0 положительным и считать, что оно совпадает с направлением отсчета положительных значений угла ф, то из соотношешп"! (4) получаем:

= 0; = Мо cos pt.

Следовательно, ди4)4>еренциал!.ные уравнения (I), описывающие вынужденные колебания системы в обобщенных координатах г и ф, имеют вид:

ал" + С1,2Н-с,2ф = 0; аф + Ciz + сЦ! = Mq cos pt. (5)

Частное решение системы дифференциаль[п>1х уравнений (5), определяющее вынужденные колебания, находим в виде:

z = cos pt, ф = ЛфCOspЛ

Подставляя эти выражения в дифференциальные уравнения (5), получаем:

(сц-ацр") Л. + с,,Лф = 0; CiiA + ic.n - anP-) А-= М„.

Из этой системы двух алгебраических уравнений относительно Л и Лф находим:

Д :2 . /сч

А = 0(11-ДцР) /74

Амплитуды вынужденных колебаний равны абсолютным значениям А, и Лф.

Воспользуемся формулой (7) для определения амплитуды возмущающего момента. По условию задачи при р = 0 угол поворота стержня DE равен (fo, следовательно, при р = 0

Лtfo = Фо = Vn/(CiiC2.i - cii),

откуда

Мо = Фо с,2 - -J) = 0,01 (2040 - ) = 16.8 Нм.

Леремеи1ение груза под действием постоянного момента М = Мо, приложенного к стержню DE, можно найти из соотношения (6) при р = 0:

А Z - 6,8-1200

Л.-о-2о- спСп-съ ~~ 4000-2040-1200= ~ "



Так как знаменатель в формулах (6) и (7) является квадратным многочленом относительно р, а корнями этого многочлена являются квадраты частот свободных колебаний системы k\ и .j, то формулы (6) и (7) можно представить в виде

лЛ2 144000

Az =

(p2-44l4) (p2-10870)

Л(Г) -

Mq (Сц-ЧцР-) 120 (4000 0.5p2)

anaz2 (p~kV)(p~ki) (p2- 4414) (p2--10870) ()

Формулы (6), (7) или (8), (9) позволяют проследить за зависимостью Л; и Лф от частоты р и построить соответствующие графики (рис. 256).

COJ -

0.01

1 1 1 1 1 1

, »?«ii,",

1

да а? .и *о 5(7 во

70 SO т

k, р

: т 120---,

*2

- 0,OJ -

0,03 0,02 0,01 О

-0,01

-0,02

-0,03

Рис. 256

Рассмотрим поведение Л- и Л для трех интервалов изменения циклической частоты возмущающего момента:

0--Е=/?<*1, Ai<P<*.2 и k.<:p<oo.

1. 0<;p<Ai. Так как kk,, то р -А;<0 и р -.;<0, следовательно, знаменатель формул (8) и (9) положителен. Из этого

V {радиан)

Ю 20 30 «? 50 60

70 да /до юа /ш

т по W [



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 [ 124 ] 125 126 127 128 129