Промышленный лизинг
Методички
л - о "-in j - fg coses. Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем: Xi=-g-(sincd - /cosа) t + C, Xi = [g (Sin a - / cos a)/2] i- + Ci + C. Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями задачи: при / = 0 л:,о = 0 и iio = 0. Составив уравнения, полученные при иитегрироваиии, для / = 0 найдем постоянные: 4 = 0, Q = 0. Тогда iinf (siiici -/coscc) t\ Xi = [g(sina-/ cos я)/2] P. Для момента т, когда ка.мень покидает участок, x-i = vb; 1 = 1, т. е. Vn = g{4U)a-[cosa) т; l = [g (sina-/cosoj)/2]-T2, откуда Vb = 21/t, т. е. у,, = (2.4)/1 =8 м/с. Рассмотрим движение камня эт точки В до точки С Показав силу тяжести G, действующую на камень, составим дифференциальные уравнения его движения: тх=0; ту = 0. Интегрируем первое из этих уравнений: X = Cgj X - Ci -j- с4. Постоянные интегрирования С, и с4 определим, используя начальные условия задачи: при / = 0 Xq--0, .Vo = г,/; cos а. С помощью уравнений, полученных при интегрировании и состав-ле1тых для / = 0, Xq = с3; Xq = C, найдем, что Сз = Уд coses; с4 = 0. Тогда y,jCOSa; х = oleosa-/. Интегрируя уравнение my = G, имеем: y = gt + Cr,; y = gr-/2 + C,t + C,. Начальные условия: при / = 0 Уо = 0 уо=--vnsiua.. Из уравнений, полученных интегрированием и составленных для / = 0, Уо = Q; Уо = Qi найдем, что C? = fesinoc и Cq = 0. Окончательно У = Ц( + v,i sin а; = g/*/2 + Vg sin a • Таким образом, уравнения движения камня имеют вид /=z,ijCOSa-/; t/ = g-/*/2-f y/jsina-/. Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы: В момент падения т. е. у „ „ .,--1-X[ра. Ivj cos а ° = = S м, а x = d. откуда так что di,2 = -2,82 :L4,93, d=-2,n м, й!, = -7,75 м. Поскольку траекторией движения камня является ветвь параболы с положительными абсциссами ее точек, то d = 2,\\ м. ]Минимальная ширина полки b = d-£D = d-ft/tg75" = 2,ll -5/3,73 = 0,77 м. Используя уравнение движения камня л" = cosa •/, найдем время Т движения камня от точки В до точки С: 2,11 = 8 0,57, откуда Г = 0,53 с. Скорость камня при падении найдем через проекции скорости на осп координат: X-=vи cosOL, у = gi-\-vи sma по формуле Для момента падеш(я /=7 = 0,53с Ус - У {п cos а)- + {gr + Уд sin к)* = = Y(8-0,5)*-i-(9,81 -0,53 + 8-0,87)* = 12,8 м/с Задание Д-2. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил Найтн уравнения движения тела М массой т (рис. 139 - 141), прииимае\10го за материальную точку и находящегося по,а действием переменной силы Р = Xi -{-Yi -\~ Zk, ири заданных начальных условиях. Во всех вариантах, где показана ось z, эта ось вертикальна, за исключением вариантов 8 и 30. Необходимые для решения данные приведены в табл. 45, в которой приняты следующие обозначения: г, /, /г -орты коор.тинатных осей (соответствсшю х, у, г); gf -ускорение свобо.июго падения (9,81 м/с-); / - коэффициент трения скольжения; / - время в с; л, у, Z, х, у, г -координаты точки и проекции ее скорости иа оси координат соответственно в м и м/с. Во всех случая:;, где сила Р зависит от л, х, г, г, рассмотреть движение точки, при котором эти величины только положительны. Пример выполнения задания. Даио: т= \ кг, Р = -4/-(t cosф+ -\-k$m;)H; ,го= 10 м; ?o = 0, .го = 0, io = 40 м/с (рис. 142, а). Найти уравнения движения. Решение. .Чатериальная точка М находится иод действием силы тяжести G и силы Р, линия действия которой проходит через неподвижный центр О (рис. 142, б). Сила Р притягивает точку М к центру О. Модуль силы прямо пропорциоиалеи расстоянию г от точки до полюса О. " В начальный момент времени (/ = 0) точка уИ находится на оси х на расстоянии 10 м от начала отсчета и ей сообщается начальная скорость 40 м/с, направлеЕшая вверх по вертикали. Заданные силы Р, G и вектор начальной скорости расположены в плоскости xOz и поэтому дальнейшее движение точки происходит в этой плоскости. Дифференциальные уравнения движения материальной точки имеют вид: Сумма проекций сил иа оси координат равна: •Х, =Р, = -4/-со5ф, vz, = P,-G=- -4/-sin(p-G. Так как со8ф = .у -, sin ф =? -, то vXi- -4.v, VZ,-42-G. С учетом исходных дати>1х X = - 4х, 2 = - 4 г - g или , jc + 4A--0; (1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 |