Составим уравнение, выражающее трорсму об ичмонеиии количества движения, дтя предполагаемого промежутка времени ог О до t":

mv - "icgj - - ingf МП сс - finql* cos о; \-S р ., где в данном сл\чае

у. = 0, Sp = t* (250/3) t* 1/2 = (125(3) t*K

В рсзутьгате получим следующее уравнение для определения 1*;

125/3 (" - 1Щ (sin а + / cos а) + ш = О, т. е.

(196,2 + 34,1) 3C*/125-f (400 3)/125 = 0

i*2-5,52*+9,6 = 0.

Решал это уравнение, делаем вывод, что ие существует такого момента времени, для которого скорость тела, находящегося под де11ствием указанных сил, будет равна нулю.

2. Для определения скорости тела в момент времени U составим уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения, для промежутка времени U - ti.

mvij, - mvx = Ъ Six, (2)

S Su = - G (t,- i) sina- F i(i-ti)+ Spx.

Проекция импульса переменной силы Р за (ti - tj) выражается площадью трапеции MBCI на графике P = P{t):

Spx = [5 (250 + 300)]/2 = 1375 Н • с.

Поэтому уравнение (2) имеет вид

mt).2t - ти = - mg (4 - /i) sin а - fmg cosa (t - + 1375,

откуда

= IlA- - g{t2 - ti)sma - fg cos a • (/г - i) + 1375/m = = 2,10-9,81 -5-0,5-0,1 -9,81-0,87-5 + 1.375/40 = = 2,10 - 24,52 - 4,27 + 34,38 = 7,68 м/с.

Таким образом,

u.2 = ti.,.v = 7,68 м/с.

Примечание. Прежде чем составить уравнение (2), нужно убедиться, что за время t-z - lx перионачальная скорость у, (yi>0) не изменит своего направления. Де1(С7Пигельно, в начало движения на этом участке сила Р> > (G silt а-г/G cos а) и П1)одол>кает расти, зешчнт, скорость тела не можег изменить своего первоначального направления.

3. Уравнение, выражающее теорему об изменении количества движения и составленное для промежутка времени t,~t,, дает возможность определить скорость тела U;, в момент /3;

mvx - mv..,, = i; S; , (3)

X Su = - G{U- L) sin a - [G cos a [t, - у + 5„,.

Проекция импульса переменной силы Р за (/3 - 4) с выражается площадью трапеции IDEK:

Sp, = [4 (200 + 150)]/2 = 700 И с.

Тогда

Уз, = v,,-g{t., -иХта-fgcos а (А, - f) -]- 700/40 - 7,68 -9,81 X X 4-0,5-0,1 - 9,81 - 0.87-4+17,5 = 7.68- 19,62-3,41 + + 17,5 = 2,15 м/с.

Таким образом,

1з = 1.-и = 2.15 м/с.

Примечание. Уравнение (3) можно составить после того, как установлено, мго и на третьем участке тело не изменяет направления своей первоначальной скорости (У21>0) и сила трения скольжения направлена в течение всего промежутка времени /3 - 2 "низ по наклонной плоскости. Для этого следует выяснить, возможен ли такой момент времени т*<;/з, когда скорость тела станет

равной 1гул(о пол действием постоянных сил G, /V, F ч силы Р, закон из.менеиия KOTopoii представлен па третьем участке графика (см. рис. 73) прямой DP. Уравнение DE и.меет вид:

Р = 200-(200-150)/4 .1 = 200- 12,5т.

где т -время, отсчитываемое от мо.меита 1. = 8 с.

Составим \рапне1гие, выражающее теоре.му об изменении количества движения, для промежутка времени от То = 0 до т = т*:

то - ту, = - nigi* sin а - firg t*cos а Sp.,

где для дап1ого случая Vx = 0, а

S" 200 + (200-12.5тП 200г* -6,25т-.

В результате получим следующее уравнение, позволяющее определ1}ть т*: 0,25т*2 - 200т* + mg (sin а+/ cos а) т* - niv2 v = 0.

" .„ , 230,3-200 , 40-7,68 „

--0:2-б:2=«

т*2+<,85т*-49,1 =0.

откуда

т*=-2,42 i к 5,80 + 49,и---2,41 ±7.41 (с). Таким образом

т* = 4,99 с.

Скорость станет равной нулю при т = 4,99с, но (/3 -/2)<т*, поэтому изменения скорости в рассматриваемый промежуток времени t-не произойдет.

4. Проверим полученное в момент / значение скорости t\ с помощью дифференциального уравнения

тх = v X,. Раскроем правую часть уравнения:

тл = - G sin а - F + Р

тл = - Sin а - jmg cos а + Р,

7 п/р. ЯЗлопскОго Л Л 193

т. е.

Jc = - g sin а - /g cos а + P/m, где Я = (250/3) •/-уравнение прямой ОВ, а поэтому i = -g sin а - cos а + (25/12) • /. Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, получаем i = - (sin а + / cos а) / + (25/24) • + С.

Для определения С используем начальное условие задачи: при =0 U(, = ie= 10 м/с.

Составим уравнение, полученное интегрированием, для / = 0, найдем, что С=10м/с. Таким образом, уравнение, определяющее изменение скорости за промежуток времени от О до t, имеет вид:

л = - g (S in а + / cos а) / + (25/24) • /«+ 10.

При / = 3с

fi = .vi = -9,81 (0,5 + 0,1 •0,87)-3 +(25/24)-9+10 = 2,10 м/с.

Задание Д-6. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости (рис. 153-155). Найти скорость шарика в положениях В и С и давление шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь. В вариантах 3, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 25, 28, 29 шарик, пройдя путь h, отделяется от пружины.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 48.

В зада1ши приняты следующие обозначения: m - масса шарика; ид -начальная скорость шарика; т -время движения шарика на участке АВ (в вариантах 1, 2, 5, 8, 14, 18, -20, 21, 23, 24, 27, 30) или на участке BD (в вариантах 3, 4, 6, 7, 9-13, 15-17, 19, 22, 25, 26, 28, 29); / - коэффициент трения скольжения шарика по стенке трубки; Л» -начальная деформация пружины; /i-величина наибольшего сжатия пружины; с - коэффициент жесткости пружины; Я-наибольшая высота подъема шарика; s -путь, пройденный шариком до остановки.

Пример выполнения задания (рис. 156). Дано: т = 0,5 кг; = = 0,8 м/с; т = 0,1с (время движения на участке BD); /? = 0,2м; / = 0,1; а = 60°; р = 30°; /to = 0; с = 10 Н/см = 1000 Н/м.

Определить v, Vc, Nc, Vp, h.

Решение. Для определения Vg и Vc применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки. Движение шарика на участках АС и АВ траектории происходит под действием силы