Найдем проекции абсолютных скоростей центров тяжести тел на ось х:

Vi = Ve = X

(где jt - координата центра тяжести Cj)

vc,x = v- vc,r COS a = i - oiiRi cos a; vc,x = v = x;

vc,x = v,- vc,r cos p = i- (1/2) • oj,/?2 • (1 - rjR) cos P;

Следовательно, проекция количества движения всей системы на ось х:

Кх = triiX + (2mo + гпз) {х - (02/?2 cos а) + + + [т + т,) [х - (1/2) • (о,/?2 (1 - rjR,) cos р]

Кх = mi - mRi [(2т + т) cos а + (1/2) (5 + т) (1 - rjR) cos Р],

m =/«1 + 2т2 +/«3 + т4 +/«5 4-/Ив. Сумма проекций импульсов всех внешних сил на ось х:

V Sfv = Gt\no.-\bxdt-\ F,pdt, 0 0

где G -вес всей системы. Учитывая, что

\bxdt = b]dx = bx и F,p = fN,

где N - нормальное давление, имеем

j:Sfx = Gts\na-bx-f \N dt. (6)

Приравнивая (5) и (6), получаем

тх - [(2т2 + /Из) cos а + (1 /2) • (т,, + т)-{1- rjR) cos р] =

= GtsmoL-bx-\N dt. (7)

Проекции абсолютных скоростей центров тяжести тел на ось у.

= 0; Vc,u = - tc,r sin а = - co/a sin a; fc, = 0; vc„j = vc,r sin p = (1/2) uiR (1 - rjR) sin P; (8)

Следовательно, проекция количества движения всей системы на ось у:

Ку = - {2т-\- тз) (HiRi s in а + (1 /2) (т + т) aR, (1 - rjRt) • s in р

Ку = сог/?. [(1 /2) • {т., + т,) (1 - rjR) s i п р - (2/?г„ + т,) si п а]. (9)

Сумма проекций импульсов всех внешн[;х сил на ось у:

SS% - Gti:osa + \N dt. (10)

Приравнивая (9) и (10), получаем

cojRa [0,5 (Шз + Шв) (1 - rjRi) sin р - (22+ «2,,) sina] =

= - GtQOsa + \N dt, (11)

откуда

J/Vd/ = <j/cosa + co2/?o[0,5(m5 + me) (1 - rJRi)sin - {2т,тз) sina].

(12)

После подстановки выражения (12) в уравнение (7) имеем:

тк + ftx = ioJii [(2m., + my) (cos a + / s in a) + + 0,5 (ms + тб) (1 - rjRi) (cos p - / sin P)] + G/ (sin a - / cos a). (13)

(o„ = (Oo (1 -e<). Разделив обе части равенства (13) на т, получаем

л- + т1лг = /г(1-е-О-Л (14)

где ц = Ь/т,

. соо/?п [(2тг + тз) (созое + / sin ее)+ 0,5 (т.-. + т,,) [\-г1Я) (cosfi -.sin Щ

= g(f cosa -sina).

Решение уравнения (14) состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения х-[-х\х = 0 и частного решения уравнения (14):

х = х-\-х«. (15)

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

XiCe".

Частное решение уравнения (14) найдем в виде:

2 = Qie + Q2/ + Q.s-Пoдcтaвнв частное решение х в уравнение (14), получим: - Q,se > + Q2 + Л (Qie- + Q4 + Q,) = Л (1 - е-О - qt.

приравнивая коэффициенты при переменных величинах е"* и /, а также свободные члены, получим следующие равенства:

-QiS + TiQi = -/i; TiQ, = -; Q. + Qh,

откуда

Следовательно,

x = Xi + x, = Ce- + [h/{s - Ti)l e- + /2/11 + q/ц- -{д,ц)1. (16) Постоянную с найдем из условия: при / = О

Это условие приводит к следующему значению С: C = -h/{s-x\)-{\m)[(q/n)+h].

Таким образом, уравнение движения тела / можно представить в следующем виде:

X = [h/(s - ri)] (е- - е-О + (1/Т1) [{q/ц) +Л] (1 - е-п) - {д/ц) t. (17)

Скорость тела /:

у = i = [/2/(5 - п)] (lie 1 - se- 0 + [{д/ц) + Л] е

-/Ti = [/zs/(s-Ti)](e--e-0-(?/il) (1 -е")- (18)

Из выражения (18) следует, что скорость тела / через некоторый промежуток времени может оказаться равной нулю и тело остановится. В таком случае уравнение движения (17) справедливо лишь для этого промежутка времени.

2. К исследованию движения рассматриваемой механической системы применим теорему о движе[ши центра масс:

mwc---f, (20)

где Pf - главный вектор всех внешних сил системы. Дифференциальные уравнения движения центра масс:

mxc = :Xf = X\ mrc=VKf = y. (21)

Координаты центра масс данной системы:

"1УС, + (т» + т„) Ус,-Л""Ус, + "ъУс, + "ef/c. 1/с= --iii •

(22)

Дифференцируя выражение (22) дважды по времени и учитывая, что хсч = X, Хс, -о == -Vc лс. = хс, i/c, = yi = 0, i/c, , = i/c., yc, = i/Cs.