Liw = Lid,

т. е.

(3/2) •m/-2coii = my (г-Л),

откуда

(0„ = 2(r-/2)D/3r2. (1)

Проверим полученное выражение (1) угловой скорости цилиндра по теореме Карно (для случая наложения на механическую систему идеальной нсупругой связи):

где Ti - кинетическая энергия системы материальных точек в начале удара; Tjг - кинетическая энергия системы в конце удара; 7* -кинетическая энергия, соответствующая потерянным скоростям точек системы.

Кинетическая энергия цилиндра в начале удара о ступеньку

7i = (l/2) mu2.

Кинетическая энергия цилиндра в конце удара о ступеньку

Tn = {l2)(mvb + Jcmi). Теперь выведем выражение кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям Ду,- точек /И/ твердого тела при плоском движении

где -

Vn = vc\ + vcMi, Vai = vcu М-гсм.

причем вращательные скорости вокруг оси С имеют выражения!

Усм, = й)[Х/-г, VcM = (in\Xri.

Кинетическая энергия тела, соответствующая потерянным скоростям его точек,

Т* = i\/2)mi {(vci - vcn) + {vl:Mi-VcMff,

Т* = (1/2) irni (vc, -сг[) + 2 S m, {vc, ~ Vcn) X X{vcм - VcM + S iriilvcM - Vcm\-

Здесь

2rrn (vci - vcii)2 = m {vci - vcu); 2 mi ivc\ - Veil)- {vcM, - vcMi) = (vci - fen) • S mi (щ xn - ©ir x7/) = = {vc\ - Jcii) [(Ю - coii) X miFi] = 0;

так как

у; m/j = тгс = 0; S tni {vcM - VCM = ЕЩ (cu)/- - (Лиг if = Jc (wi - COlj)".

Таким образом,

Г* = (1/2) т (9с1 - 5c[.) + (1/2) Jc ((oi -со[,)2

Т* = (1/2) т [{иа - vcuf + (vn - ic.i/] + (1/2) Jc (coi - соп)

Выражение (+) является общей формулой кинетической энергии, соответствующей потерянным скоростям точек твердого тела при плоском движении.

Для цилиндра (рнс. 184, б) в рассматриваемой задаче

Т* = (1/2) т [{va - vcii cos р) + uhi sin P] + (1/2) Jc«ii,

T. e.

T* = (1/2) m {vh - 2vc[Vcn cos p + vbi,) + (1/2) Jcwh-

Поскольку vc] = v, fcn = wi[/-, Jc = mr/2, то, приравнивая Т - Т и Г*, получаем

(1/2) ши - (1/2) mml.A - (1/4) ffZAwf, = = l/2mu2 + mi)(oiiA cos p + (1/2) mahr + (1/4) mri,

(3/2) m(j)]ir = mvMiir cos p,

cos p = (r -/t) -.

Отсюда

сй,1 = 2(/--/г) v/3r\

Составим уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергии механической системы и соответствующее подъему цилиндра па ступеньку BD из положения в положение / (рис. 184, в):

T,u-Tn = -EAf. Так как перемещение осуществляется поворотом вокруг оси D, то (1/2) Уосо!п - (1 /2) • Уосо?! = - G/i

(3/4) • mrcof 11 - (3/4) • mrhoh = - mgh,

от к уд а

(0,1, = 1/(01,-4g/z/3r (2)

Составим уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергии механической системы и соответствующее качению цилиндра па участке DE из положения / в положение IV (рис. 184, г)

Tiv-rm = 2:f. Так как иа рассматриваемом перемещетги /lf = 0, то

Т[\ = Т]][,

т. е.

vcwvcm и cuiv = M[ii. (3)

При соприкасании цилиндра с наклонной плоскостью мгновенная ось вращения цилиндра (мгновенный центр скоростей) мгновенно перемещается из £ в f, т. е. цилиндр испытывает удар.

Составим уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента механической системы при ударе, взяв за ось моментов неподвижную горизонтальную ось, совпадающую с образующей F цилиндра (положения цилиндра IV и V, соответствующие началу и концу удара, совпадают -рис. 184,5):

Но 2l/r(sf) = 0, так как ударный импульс Sr, приложенный к цилиндру, пересекает ось F. Поэтому

При вычислении кинетических моментов цилиндра Livf и Lvf используем теорему о кинетическом моменте системы в общем случае ее движения.

Кинетический момент цилиндра относительно оси F в начале удара

LivF = mvcivг cos а + Jc<»iv,

где vcw = aivEC, поскольку мгновенный центр скоростей - в точке Е;

Livf = mcuiv/"* cosa + (mr/2) coiv = mwivr (cosa-- 1/2).

Кинетический момент цилиндра относительно оси F в конце удара

Lvf = nivcvr + Jqv,

где vcM = 4ivCF, так как мгновенный центр скоростей -в точке Р

ЕуЕ = тсоу/"* + (т/-2/2) • соу = (3/2) • тшу Но Lmf = U\!f, т. е.

(3/2) • mwv/-2 = mcoivr* (cos а + 1/2), поэтому cov = «>v(2coso.+ l)/3. (4)

Проверим найденное выражение угловой скорости цилиндра по теореме Карно (для случая наложения на систему материальных точек идеальной неунругой связи):

Tiv-Tm = T*.

Кинетическая энергия цилиндра в начале удара о наклонную плоскость

r,v = (l/2) (mubv + /cw]v).

Кинетическая энергия цилиндра в конце удара о наклонную плоскость